Уроки

урок №1

Застосування елементів комбінаторики до

                            розв’язування задач»

                                                                                                     

                                                           

                         «Число, положення і комбінація – три  різні сфери думки, але

                        які  взаємно  перетинаються і до них можна віднести  усі

                        математичні ідеї»

                                      Англ. математик Дж. Сильвестр (1844р.)

Мета

–       дидактична : формування умінь і навичок розв’язування різних видів комбінаторних задач, застосовування основних теорем комбінаторики – правил суми та добутку, закріплення відомих методів і способів на практиці, вміння застосовувати знання в комплексі;

 - розвиваюча: розвинення розумових здібностей, логічного мислення, уваги  

кмітливості студентів, уваги, памяті;

 –  виховна: створення атмосфери емоційного підйому, співпраці; сприяння

       зацікавленості даною темою, історією дисципліни; формування навичок колективної

       праці, об’єктивного  оцінювання знань одногрупників та самооцінювання.

Тип уроку: практичне заняття формування умінь і навичок.

Технології інтерактивного навчання.

Колективно – групові, кооперативні методи:

–       робота в парах;

–       «незакінчені речення»;

–       «мозковий штурм».

Обладнання: мультимедійний проектор, калькулятори

Засоби навчання: картки самоконтролю, картки для індивідуальної  

                                  роботи, таблиця – схема, позначки правильної

                                      відповіді.

Хід заняття.

І. Організаційний момент.

а) Повідомлення теми і мети заняття.

б) Перевірка домашнього завдання.

     На екрані з’являються задачі домашнього завдання з відповідями. За кожну правильну відповідь студенти виставляють собі в зошит 1 бал

Перевірка домашнього завдання max – 7б	«Незакінчені речення» (теорія)      max – 11б	Розв’язування задачі біля дошки. max – 4б	Самостійна робота по карткам. max – 8б	Додаткові бали – «позначки» Правильна відповідь-1б
Сума балів:
Оцінка:

        У відповідну колонку картки самоконтролю учны  виставляють собі суму балів за правильність виконання домашнього завдання

г) Вступне слово викладача.

        На попередньому занятті ми отримали весь необхідний теоретичний матеріал з теми: «Комбінаторика», без якого неможливе розв’язування задач теорії ймовірності. Нагадую нашу проблемну задачу, до якої ми повернемося на при кінці заняття.

       На екрані з’являється задача: «На екзамен з математики виносять 40 питань. Учень підготував тільки 35. Білет складається з чотирьох питань. Яка імовірність того, що студент одержить оцінку «відмінно»?»

       Математика – це наука, оволодіти якою можна тільки через поєднання теорії з практикою. Академік О.М.Крилов сказав: «Теорія без практики мертва та безплідна, практика без теорії неможлива чи згубна. Для теорії потрібні головним чином знання, для практики, крім того, і вміння». Тому спочатку перевіримо, як ви опанували теоретичний матеріал.

ІІ. Актуалізація опорних знань.

 а) Математичний диктант у формі «незакінчених речень».

     На екрані з’являються «незакінчені речення»,які студенти доповнюють у робочих зошитах.

«Незакінчені речення»

1. Різні групи елементів деякої множини, що відрізняються елементами або

    порядком цих елементів, називають ……….

2. Комбінаторика – це розділ математики, в якому вивчаються ……….

3. Якщо порядком елементів сполуки між собою не відрізняються, то це –…

4. Якщо сполуки відрізняються  порядком елементів і всі елементи множини входять у сполуку, то це – ……

5. Якщо сполуки відрізняються і елементами, і порядком цих елементів, але не всі елементи множини входять у сполуку, то це – ……

10. Якщо елемент А можна обрати  m-способами, а елемент B – n-способами,

      то А  і  В можна обрати ……….способами. Це правило ……………..

11. Якщо елемент А можна обрати  m-способами, а елемент B – n-способами,

      то А  або  В можна обрати ……….способами. Це правило ……………..

Студенти, що сидять поруч, обмінюються зошитами і перевіряють роботи один одного. За кожну правильну відповідь нараховується 1 бал.

     По закінченню перевірки на екрані з’являються «повні речення»

«Повні речення» ( Відповіді )

1. Різні групи елементів деякої множини, що відрізняються елементами або

    порядком цих елементів, називають сполуками.

2. Комбінаторика – це розділ математики, в якому вивчаються властивості сполук і формули обчислення кількості різних сполук.

3. Якщо порядком елементів сполуки між собою не відрізняються, то це –  

    комбінації.

4. Якщо сполуки відрізняються порядком елементів і всі елементи множини входять у сполуку, то це – перестановки.

5. Якщо сполуки відрізняються і елементами, і порядком цих елементів, але не всі елементи множини входять у сполуку, то це – розміщення.

10. Якщо елемент А можна обрати  m-способами, а елемент B – n-способами,

      то А  і  В можна обрати m∙n способами. Це правило добутку.

11. Якщо елемент А можна обрати  m-способами, а елемент B – n-способами,

      то А  або  В можна обрати (m + n) способами. Це правило суми.

          Студенти, переконавшись у правильності оцінювання, заносять сумарну кількість балів у відповідну колонку картки самоконтролю.

б) Складання схеми розв’язування комбінаторних задач.

Викладач: « Ми вже розв’язували з Вами нескладні комбінаторні задачі, але

насамперед знали, який вид сполук в них присутній, або яке правило: суми

чи добутку треба застосувати. Тепер  нам потрібно навчитися самостійно

розрізняти види сполук в комбінаторних задачах. Для цього дамо відповіді на запитання, які можна оформити у схему розв’язування комбінаторних задач.»

Запитання:

1) В яких сполуках враховується порядок елементів? ( В перестановках і розміщеннях. В комбінаціях порядок слідування елементів не враховується. Тому це перше запитання схеми.)

2) Якщо порядок слідування елементів враховується, то отримуємо наступне запитання. В яку сполуку входять всі елементи множини? ( В перестановки.

Якщо не всі елементи входять, то обираємо останній вид – комбінації)

3) Якщо обирають елементи А і В  з двох різних множин, то яке правило треба застосувати? ( Правило добутку )

4) Якщо обирають елемент А або В  з двох різних множин, то яке правило треба застосувати? ( Правило суми )

На екрані з’являється схема розв’язування комбінаторних задач, яку студенти перекреслюють у зошити для формул.

Вибір правила
Правило суми (6)	Правило добутку (7)
Якщо елемент А можна вибрати m способами, а елемент В – n способами, то А або В можна вибрати (m + n) способами	Якщо елемент А можна вибрати m способами, а після цього елемент В – n способами, то А і В можна вибрати (m ∙ n) способами

ІІІ. Формування умінь і навичок.

а) Розв’язування задач з використанням схеми – групова робота.

    На екрані з’являються задачі.

    Студенти за бажанням виходять працювати до дошки, отримуючи

     від 1-го до 4-х балів.

Задачі

1. Скільки трицифрових чисел з різними цифрами можна скласти з набору

« 1; 2; 3; 4; 5»?

2. На площині позначено 8 точок (жодні 3 не лежать на одній прямий). Скільки існує трикутників з вершинами в цих точках?

3. Скількома способами можна розставити 7 книжок на полиці?

4. З 10 учнів потрібно вибрати двох для прибирання кабінету. Скільки існує варіантів вибору?

5. Розклад містить 4 пари на день з різних 10-ти предметів. Скільки існує варіантів скласти розклад на один день(предмети не повторюються)?

6. Скільки парних трицифрових чисел (усі цифри різні) можна записати, використовуючи цифри: «3; 4; 5; 7; 9»?

7. Скільки п’ятицифрових телефонних номерів існує з цифр «0; 1; 3; 5; 7», які в номері не повторюються?

8. У вазі стоїть 10 червоних і 5 рожевих пронумерованих гвоздик. Скількома способами можна вибрати:

 а) три квітки одного кольору?

 б) 3 червоні і 2 рожеві гвоздики?

9. В кабінеті банкіра є сейф з коштовностями, код до якого складається  з двох голосних букв і трьох цифр. Скільки комбінацій треба перебрати грабіжнику, щоб відкрити сейф і заволодіти коштовностями?

10. Із двох математиків і десяти економістів треба створити комісію з восьми вчених, в яку обов’язково входить хоча б один математик?

Задача підвищеної складності

11. Підприємство може  надати  роботу за однією спеціальністю чотирьом жінкам, за другою – шести чоловікам і за третьою – трьом робітникам незалежно від статі. Є 14 претендентів: 6 жінок і 8 чоловіків. Скількома способами можна заповнити вакантні місця?

Розв’язування задач.

1.  Скільки трицифрових чисел з різними цифрами можна скласти з набору

« 1; 2; 3; 4; 5»?

2. На площині позначено 8 точок (жодні 3 не лежать на одній прямий). Скільки існує трикутників з вершинами в цих точках?

3. Скількома способами можна розставити 7 книжок на полиці?

4. З 10 учнів потрібно вибрати двох для прибирання кабінету. Скільки існує варіантів вибору?

5. Розклад містить 4 пари на день з різних 10-ти предметів. Скільки існує варіантів скласти розклад на один день(предмети не повторюються)?

6. Скільки парних трицифрових чисел (усі цифри різні) можна записати, використовуючи цифри: «3; 4; 5; 7; 9»?

Трицифрові числа повинні закінчуватися на 4:    •  •  4  Залишилося 2 пустих місця та 4 вільні цифри.

7. Скільки п’ятицифрових телефонних номерів існує з цифр «0; 1; 3; 5; 7», які в номері не повторюються?

Потрібні перестановки з 5-ти елементів, з яких треба виключити ті, що починаються з нуля: 0 • • • •

8. У вазі стоїть 10 червоних і 5 рожевих пронумерованих гвоздик. Скількома способами можна вибрати:

 а) три квітки одного кольору?

 б) 3 червоні і 2 рожеві гвоздики?

                         Розв’язок.

9. В кабінеті банкіра є сейф з коштовностями, код до якого складається  з двох голосних букв і трьох цифр. Скільки комбінацій треба перебрати грабіжнику, щоб відкрити сейф і заволодіти коштовностями?

10. Із двох математиків і десяти економістів треба створити комісію з восьми вчених, в яку обов’язково входить хоча б один математик?

Потрібен 1 математик з 2-х і 7 економістів з 10-ти:

Задача підвищеної складності

11. Підприємство може  надати  роботу за однією спеціальністю чотирьом жінкам, за другою – шести чоловікам і за третьою – трьом робітникам незалежно від статі. Є 14 претендентів: 6 жінок і 8 чоловіків. Скількома способами можна заповнити вакантні місця?

                                      Розв’язок.

Маємо 13 робочих місць і 14 претендентів.

1 спеціальність – 4 жінки з 6-ти:  Залишилося 2 жінки.

2 спеціальність – 6 чоловіків з 8-ми:  Залишилося 2 чоловіки

3 спеціальність – 3 особи незалежно від статі:

             1) 1 жінка і 2 чоловіки:

                                       Або

            2) 1 чоловік і 2 жінки:

За правилом суми: 2 + 2 = 4 – варіанти для 3-ої спеціальності

За правилом добутку: 15∙28∙4=1680 – способів заповнити вакантні місця.

б) Хвилинка відпочинку: « З історії розвитку комбінаторики»

 Викладач:  З задачами, в яких приходиться вибирати ті чи інші предмети, розміщувати їх в певному порядку і відшуковувати серед різних розміщень найкращі, люди стикнулися ще в доісторичну епоху, обираючи найкращі розміщення мисливців під час полювання, воїнів під час битви, інструментів під час роботи. Пізніше, поряд із спортивними змаганнями з’явились ігри з різними фігурами чи предметами, в яких вигравав той, хто краще знав переможні комбінації та вмів уникати програшних.(Давня єгипетська гра «сенет», в яку грав фараон Тутанхамон, нарди, китайські та японські шахмати, японські шашки «го» і т. д.) Що ж було поштовхом до виникнення  комбінаторики, як науки? Для чого ще потрібні знання з комбінаторики, крім відомого вже нам застосування в теорії ймовірності?

Виступи учнів:

Під час доповідей на екрані з’являються портрети вчених-математиків.

1.Перша праця, що містила комбінаторні задачі, увійшла в книгу «Книгу Абака» видатного математика Леонардо Фібоначчі в 1202 р. Наприклад, задача про пошук найменшої кількості гир, за допомогою яких можна отримати будь-яку цілу вагу від 1 до 40 фунтів.

   Але поштовхом до виникнення комбінаторики був розквіт азартних ігор, зокрема гри в кості. Питаннями, що пов’язані з цією грою, займалися в ХVIст. італійські математики – Джероламо Кардано, Н. Тарталья, в ХVIІст. – Галілео Галілей, видатні математики Франції – Блез Паскаль і П’єр Ферма. Саме роботи Паскаля і Ферма дали поштовх  для народження нових гілок математичної науки – комбінаторики і теорії імовірності. Вже у 1666 р. Готтфрід Вільгельм Лейбніц публікує «Дисертацію про комбінаторне мистецтво, в котрій вперше з’являється сам термін «комбінаторика». Лейбніц, якому на той час було всього 20 років і котрий мав вчений степінь з юриспруденції, планував для комбінаторики нові додатки: до кодування, статистики, теорії спостережень. Учень Лейбніца – Якоб Бернуллі в своїй книзі «Мистецтво припущень» (1713р.) виклав багато відомостей з комбінаторики та вперше увів поняття «перестановки», «розміщення». Остаточно комбінаторика як самостійний розділ математики оформилась в працях Леонардо Ейлера у ХVIІІст.

2.Для кодування таємної інформації та її розшифровки потрібні знання комбінаторики, тому для вирішення цих питань залучали математиків. Першим де шифрувальником був «батько алгебри» –  Франсуа Вієт.(кінець

   ХVIст.) Навички в розгадці складних шифрів допомогли ученим, коли археологи почали відкопувати камені та інші предмети давнини з таємними знаками – письменністю. Таким чином і в археології комбінаторика має застосування.

 Складність будови біологічних систем, взаємне поєднання окремих процесів в цілому організмі роблять біологію підходящим полем застосування комбінаторних методів. Поєднуючи їх з вивченням рентгенівських знімків, вченим вдалося розгадати будову багатьох білків, в тому числі гемоглобіну та інсуліну. Найбільшим досягненням комбінаторного підходу до проявів життя можна вважати розшифровку будови ДНК, зроблену в Кембриджі вченими Ф. Криком та Дж. Уотсоном у 1953 р.

Комбінаторика виявилась корисною і в хімії. Розкладуючи свій хімічний пасьянс, великий вчений Дмитро Іванович Мендєлєєв, знайшов правильне розміщення елементів, виникла таблиця – був відкритий періодичний закон.(17 лютого 1869р.). Також комбінаторика дала можливість перерахувати ізомери, котрі мають один і той самий склад, але різну будову.

 У фізиці комбінаторика виявляється необхідною при вивченні властивостей кристалів, опису моделі феромагнетизму та ін..

 Проекти Вільгельма Лейбніца здавалися нездійсненними тогочасним математикам, але тепер, після створення ЕВМ, багато планів Лейбніца втілюються у життя. За допомогою ЕВМ стало можливим робити перебори, що раніше потребували сотень і тисяч років.

IV. Перевірка засвоєння знань учнів

в) самостійна робота за індивідуальними картками

КАРТКА № 1

1. Мають 5 видів фарби. Скількома способами можна розфарбувати слово «свято», якщо всі букви повинні бути різного кольору?

  2. Із цифр «1; 2; 3; 4; 5» складають числа, в яких не менше 4-х різних цифр.                  

 Скільки таких чисел можна скласти?

КАРТКА № 2

1. Скількома способами можна розставити 7 спортсменів на 7-ми бігових доріжках?

2. В загоні 6 офіцерів і 15 рядових. Скількома способами можна сформувати загін розвідників, до якого входять 2 офіцера і 12 рядових?

КАРТКА № 3

1. Скількома способами можна розкласти 8 різних поштових листів по восьми різним конвертам?

2. Мають 12 червоних і 7 білих пронумерованих троянд. Скількома способами можна скласти букет з 5-ти троянд одного кольору?

КАРТКА № 4

1. Естафета має 4 різні за довжиною етапи. Скількома способами тренер може розподілити етапи серед 10-ти спортсменів?

2. У 6-ти дорослих та 11-ти дітей виявлено ознаки інфекційної хвороби. Щоб перевірити захворювання, треба взяти вибірковий аналіз у 2-ох дорослих та 3-х дітей. Скількома способами це можна зробити?

КАРТКА № 5

1. Скільки існує варіантів розподілу 3-х призових місць, якщо в олімпіаді з математики беруть участь 25 студентів?

2. У кошику 10 яблук і 12 груш. Скількома способами можна дістати 6 фруктів одного виду?

КАРТКА № 6

1. В побудовану нову школу прийшли працювати 25 викладачів. Скількома способами можна обрати з них директора, заступника з навчально-методичної роботи та заступника з виховної роботи?

2. В групі навчаються 15 хлопців і 12 дівчат. Скількома способами можна вибрати для генерального прибирання кабінету 3 хлопця і 4 дівчини?

КАРТКА № 7

1.Скільки існує способів вибрати 4-х з 19-ти студентів, які бажають чергувати по технікуму?

2. В ювелірну майстерню привезли 6 ізумрудів і 9 алмазів. Ювеліру замовили браслет, в якому 3 ізумруди і 5 алмазів. Скількома способами він може вибрати камені на браслет?

 КАРТКА № 8

1. Скількома способами можна вибрати три з 11-ти різних новорічних подарункових наборів?

2. При формуванні екіпажу космічного корабля мали 10 претендентів на посаду командира і 20 – на посаду бортінженера. Скількома способами можна обрати 2-х кандидатів однієї посади для проходження першого тесту?

     Учні, що сидять поряд, обмінюються зошитами і здійснюють перевірку самостійної роботи один одного.

     По закінченню перевірки на екрані з’являються відповіді до всіх задач.

Студенти переконуються у правильності розв’язування і перевірки та виставляють собі суму балів у відповідну колонку картки самоконтролю.

V. Підведення підсумків заняття. Домашнє завдання.

а) розв’язування проблемної задачі попереднього заняття

Викладач

Прийшов час повернутися до нашої проблемної задачі. На екрані з’являється задача: «На екзамен з математики виносять 40 питань. Учень підготував тільки 35. Білет складається з чотирьох питань. Яка імовірність того, що студент одержить оцінку «відмінно»?»

 Тепер, коли ми озброєнні знаннями з комбінаторики, вміємо обчислювати кількість комбінацій в залежності від умов, то я впевнена, що наша проблемна задача зараз буде розв’язана.

Але треба згадати формулу обчислення імовірності деякої події.

Р(А) =,  де n – кількість всіх можливих результатів випробування, а m – кількість сприятливих( потрібних за умовою) результатів.

Задача розв’язується колективно.

Подія А – студент витягнув білет, в якому всі 4 питання він знає на «відмінно»

Всього питань – 40. В білеті їх – 4. Тому    

Студент знає 35 питань. В білеті їх – 4. Тому    

Отже,  Р(А) =

    

Подальші обчислення учням пропонується провести самостійно вдома і звірити результати обчислення на наступному занятті.

      

б) самооцінювання роботи на занятті за картками самоконтролю.

Учні у своїх картках підраховують загальну кількість балів, яку вони набрали за все заняття і переводять її в оцінку за «шкалою оцінювання».

«Шкала оцінювання» з прикладом заповненої картки самоконтролю з’являється на екрані.

 «ШКАЛА ОЦІНЮВАННЯ»

Сума балів	Оцінка
Менше 5 балів	«3»
6 – 8 балів	«4»
9 – 11 балів	«5»
12 – 14 балів	«6»
15 – 17 балів	«7»
18 – 20 балів	«8»
21 – 23 балів	«9»
24 – 26 балів	«10»
27 – 29 балів	«11»
Більше 30 балів	«12»

в) студенти отримують домашнє завдання і побажання успіху в подальшому вивченні теми: «теорія ймовірності»

Домашнє завдання.

1. На площині позначено 10 точок (жодні 3 не лежать на одній прямій). Скільки існує прямих, що проходять через ці точки?

2. Скількома способами можна вишикувати 8 студентів у шеренгу?

3. Скільки існує п’ятицифрових телефонних номерів, цифри яких не повторюються?

4. В групі 16 хлопців і 12 дівчат. Треба сформувати групу з трьох студентів, щоб провідати хворого одногрупника, якщо:

        1) всі члени групи – хлопці або дівчата;

        2) в групу входить 2 дівчини

        3) в групу входить хоча б одна дівчина.